进制转换通用规则

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2025-12-26

进制转换的核心思想

不同进制之间的转换, 并不是记技巧, 而是规则的自然推导.

无论是二进制/八进制还是十六进制, 所有进制转换都可以归结为两类问题:

只要掌握这两种通用方法, 就能完成任意进制之间的转换.

进制不同, 算法相同; 变化的只有基数.

将一个数从任意进制转换为十进制, 本质上就是按位权展开求和.

通用公式为: 每一位上的数字 × 基数的对应幂次.

从右向左, 幂次从 0 开始递增.

101010_2

展开为

1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 42_{10}

52_8 = 5 \times 8^1 + 2 \times 8^0 = 42_{10}

在十六进制中:

2A_{16} = 2 \times 16^1 + 10 \times 16^0 = 42_{10}

将十进制整数转换为任意进制, 使用除基取余, 逆序排列的方法.

步骤如下:

转换为二进制示例

将十进制数 42 转换为二进制

\begin{aligned} 42 \div 2 &= 21 \cdots 0 \\ 21 \div 2 &= 10 \cdots 1 \\ 10 \div 2 &= 5 \cdots 0 \\ 5 \div 2 &= 2 \cdots 1 \\ 2 \div 2 &= 1 \cdots 0 \\ 1 \div 2 &= 0 \cdots 1 \\ \end{aligned}

逆序排列余数

101010_2

该方法对任何进制都成立, 只需更换基数即可:

例如: $42_{10} = 52_8 = 2A_{16}$

将十进制小数转换为任意进制, 使用乘基取整, 顺序排列的方法.

步骤如下:

将 $0.125_{10}$ 转换为二进制:

\begin{aligned} 0.125 \times 2 &= 0.25 \to 0 \\ 0.25 \times 2 &= 0.5 \to 0 \\ 0.5 \times 2 &= 1.0 \to 1 \\ \end{aligned}

按顺序排列:

0.001_2

并不是所有十进制小数, 都能在其他进制中被精确表示.

例如:

这是进制表示的数学特性, 而不是计算错误.

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