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小数与进制表示

约 785 字大约 3 分钟

2025-12-26

为什么小数比整数麻烦

在前面的文章中, 无论是进制的理解还是进制转换, 整数部分都显得非常听话.

但一旦涉及小数, 情况就立刻变得复杂起来:

  • 有的小数可以被精确转换.
  • 有的小数却会无限延伸, 永远无法结束.

这并不是计算方法的问题, 而是进制表示本身的数学特性.

小数是否能被精确表示, 取决于进制和分母的关系.

一个直觉例子: 十进制也不完美

我们常常觉得十进制很自然, 但它同样存在无法精确表示的小数.

例如:

1÷3=0.333333⋯1 \div 3 = 0.333333 \cdots

这个结果在十进制中是一个无限循环小数.

但这并不妨碍我们使用十进制, 只是说明:

任何进制, 都只能精确表示一部分小数.

小数在进制中的本质

一个小数, 本质上是一个分数.

例如:

  • 0.5 = 12\frac{1}{2}
  • 0.25 = 14\frac{1}{4}
  • 0.1 = 110\frac{1}{10}

关键问题在于:

分母能否被目标进制的基数整除

为什么有些小数能被精确表示

二进制中的情况

二进制的基数是 2.

因此, 凡是分母只包含2 的因子的分数, 都可以在二进制中被精确表示.

例如:

  • 12→0.12\frac{1}{2} \to 0.1_2
  • 14→0.012\frac{1}{4} \to 0.01_2
  • 18→0.0012\frac{1}{8} \to 0.001_2

示例:

0.12510=18=0.00120.125_{10} = \frac{1}{8} = 0.001_2

十进制中的情况

十进制的基数是10=2×510 = 2 \times 5.

因此, 凡是分母只包含2 和 5 的因子的分数, 都可以在十进制中被精确表示.

例如:

  • 12\frac{1}{2}
  • 14\frac{1}{4}
  • 15\frac{1}{5}
  • 110\frac{1}{10}

这正是为什么:

  • 0.1100.1_{10}可以精确表示
  • 1310\frac{1}{3}_{10}却不行

为什么 0.1 在二进制中转不完

我们常见的例子:

0.1100.1_{10}

将其写成分数:

110=12×5\frac{1}{10} = \frac{1}{2 \times 5}

由于分母中包含5, 而二进制的基数只有2, 因此:

0.1 在二进制中只能表示为无限循环小数

这并不是精度不够, 而是根本无法精确表示.

乘基取整法为什么会无限继续

在第二篇中, 我们使用了乘基取整法来转换小数.

当小数可以被精确表示时:

  • 乘积的小数部分最终会变为 0.

而当小数无法被精确表示时:

  • 小数部分会不断重复.
  • 转换过程理论上永远不会结束.

因此, 在实际工程中:

小数转换通常只保留有限精度.

这与浮点数有什么关系

计算机中的浮点数, 本质上也是用二进制来表示小数.

因此:

  • 许多看似简单的十进制小数.
  • 在计算机中只能被近似表示.

这正是浮点误差产生的根本原因之一.

问题不在于计算机不精确, 而在于表示本身存在极限.

版权归属：洱海

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