整数与补码表示

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2025-12-26

进制解决不了正负的问题

在前面的文章中, 我们讨论了进制/进制转换/以及小数的表示问题.

但有一个问题一直被刻意回避:

负数是如何被表示的?

进制只能回答数值如何展开, 却无法回答正负如何区分.

因此, 负数的表示并不是进制的问题, 而是编码方式的问题.

为什么计算机必须使用定长整数

计算机中的整数, 并不是无限长的.

在实际系统中, 整数通常具有固定长度, 例如:

8 位
16 位
32 位
64 位

这意味着:

每一个整数, 都只能使用有限的二进制位.
最高位, 必须承担某种符号含义.

最直觉的方案: 符号位 + 绝对值

最容易想到的负数表示方式是:

最高位表示符号(0 为正, 1 为负).
其余位表示数值的绝对值.

例如(8 位):

\begin{aligned} +5 &= 0000 0101 \\ -5 &= 1000 0101 \end{aligned}

这种方式直观, 但存在严重问题:

加减法需要额外处理符号位.
会出现 +0 和 -0 两种表示.

因此, 它并不适合用于通用计算.

反码: 向前迈了一步, 但还不够

在符号位方案的基础上, 引入了反码的概念.

规则是:

正数: 与原码相同.
负数: 对除符号位外的所有位取反.

例如(8 位):

\begin{aligned} +5 &= 0000 0101 \\ -5 &= 1111 1010 \end{aligned}

反码解决了部分运算问题, 但仍然存在:

+0 和 -0 依然共存.
加法电路仍然复杂.

补码: 工程上的最终选择

为了解决上述所有问题, 计算机最终选择了补码(Two's Complement).

补码的定义

对于一个 N 位整数:

正数的补码 = 原码.
负数的补码 = 反码 + 1.

等价表述为:

负数的补码 = $2^n$ − 该数的绝对值

补码的示例

以 8 位整数为例, 表示 -5:

+5 的二进制:

0000 0101

取反：

1111 1010

加 1:

1111 1011

因此:

-5 = 1111 1011

为什么补码如此重要

补码的核心优势在于:

加减法可以统一处理.
不需要区分正负数.
不存在 +0 和 -0 的歧义.

例如, 在补码系统中:

(+5) + (-5) = 0

可以直接用二进制加法完成, 而无需特殊逻辑.

在补码体系下, 减法被消灭了, 只剩加法.

如何从补码还原十进制

判断一个补码表示的整数, 需要先看最高位:

最高位为 0: 正数, 直接按位权展开.
最高位为 1: 负数, 执行以下步骤:
1. 对所有位取反.
2. 加 1.
3. 按正数方式计算结果.
4. 添加负号.

示例

1110 1011

取反:

0001 0100

加 1:

0001 0101

计算十进制:

21

结果为:

-21

补码的取值范围

对于 N 位补码整数:

最小值: $-2^n-1$
最大值: $2^n-1$

例如:

8 位整数范围: $-128 ~ 127$
32 位整数范围: $-2^{31} ~ 2^{31}-1$

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