什么是进制

进制(Number Base), 本质上是一种表示数字的规则系统.

它规定了三件事:

1. 使用多少种符号.
2. 每一位能表示的最大值.
3. 不同位置的数值权重如何计算.

无论是十进制/二进制/还是十六进制/它们的数学本质完全一致, 区别只在于基数不同.

进制不是数字本身, 而是数字的表示方法.

位/基数与位权

理解进制, 只需要掌握三个概念.

位(Digit)

数字中的每一个位置, 称为一位. 例如:

1 2 3
↑ ↑ ↑
百十个

基数(Base)

基数表示每一位允许使用的符号数量.

• 十进制: 基数为 10 (0 ~ 9)
• 二进制: 基数为 2 (0, 1)
• 八进制: 基数为 8 (0 ~ 7)
• 十六进制: 基数为 16 (0 ~ 9, A ~ F)

位权(Positional Weight)

每一位的真实数值, 等于当前位上的数字 × 基数的幂

从右到左, 幂次从0开始递增.

用十进制理解位权

以十进制数123为例:

$$123=1 \times 10^2+2 \times 10^1+3 \times 10^0$$

这正是我们从小习以为常/但很少刻意说明的规则.

十进制并不特殊, 它只是我们最熟悉的一种进制.

二进制/八进制/十六进制的本质

换一个基数,规则并不会改变.

二进制示例

$$\begin{aligned} 101010_2 &= 1 \times 2^5+0 \times 2^4+1 \times 2^3+0 \times 2^2+1 \times 2^1+0 \times2^0 \\ &= 42_{10} \end{aligned}$$

八进制示例

$$52_8 = 5 \times 8^1 + 2 \times 8^0 = 42_{10}$$

十六进制示例

$$2A_{16} = 2 \times 16^1 + 10 \times 16^0 = 42_{10}$$

可以看到, 同一个数, 在不同进制下只是长得不一样

为什么人类使用十进制

原因并不复杂:

• 人类有十根手指.
• 计数和交流方便.
• 长期形成的文化习惯.

十进制的优势在于直观, 而不是高效或先进.

为什么计算机使用二进制

计算机选择二进制, 并非偶然.

核心原因只有三个:

1. 物理实现简单(有电 / 没电).
2. 抗干扰能力强.
3. 逻辑电路设计稳定可靠.

二进制是工程选择, 不是数学偏好.

八进制与十六进制存在的意义

八进制和十六进制并不是多余的进制.

它们的价值在于:

• 更适合人类阅读二进制.
• 与二进制存在固定映射关系.

例如:

• 1 个十六进制位 = 4 个二进制位.
• 1 个八进制位 = 3 个二进制位.

因此, 在底层开发/调试/内存表示中:

• 八进制与十六进制是二进制的友好外壳

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